Des pièces pour les appareils électroménagers

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une usine fabrique chaque jour \(1~200\) pièces pour appareils électroménagers. Ces pièces sont de deux types : les pièces de type A et les pièces de type B.

• \(75\; \%\) des pièces fabriquées par l’usine sont de type A.
• \(7\; \%\) des pièces de type A sont défectueuses.
  
• \(2\; \%\) des pièces de type B sont défectueuses.
  

1. Compléter le tableau ci-dessous.

2. Calculer la fréquence des pièces qui sont défectueuses.

3. On prélève au hasard une pièce parmi les \(1~200\) pièces fabriquées dans la journée. On définit les événements suivants :

• \(\text{A}\) : « la pièce prélevée est de type A » ;
• \(\text{D}\) : « la pièce prélevée est défectueuse ».

Calculer la probabilité que la pièce prélevée soit de type A sachant qu’elle est défectueuse. On note cette probabilité \(P_\text{D}(\text{A})\).

4. Une pièce défectueuse peut présenter \(1\), \(2\) ou \(3\) défauts.
Le prix de vente d’une pièce dépend du nombre de défauts qu’elle présente.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nombre de défauts}&0&1&2&3 \\ \hline \text{Prix de vente en euros}&60&15&8&1 \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production d’une journée, associe son prix de vente.
La loi de probabilité de \(X\) est partiellement donnée par le tableau suivant.\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline x& &8&15&60 \\ \hline P(X=x)&0{,}006&0{,}0318&~~~~~~~~~~&0{,}9425 \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
    b. Calculer l’espérance de \(X\) et interpréter le résultat obtenu.